Condition pour que 3n + 8 et n + 4 soient premiers entre eux - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{N}\) . Démontrer que les entiers \(3n+8\) et \(n+4\) sont premiers entre eux si, et seulement si, \(n\) n'est pas un multiple de \(4\) .

Solution

On procède par double implication.

\((\Rightarrow)\)  Supposons que  \(3n+8\) et \(n+4\) sont premiers entre eux.
D'après le théorème de Bézout, il existe \((u;v) \in \mathbb{Z}^2\) tel que
\(\begin{align*}(3n+8)u+(n+4)v=1& \ \ \Longleftrightarrow \ \ n(3u+v)+4(2u+v)=1.\end{align*}\)  
Si \(n\) est un multiple de \(4\) , alors on peut écrire \(n=4k\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .
On a alors 
\(\begin{align*}(3n+8)u+(n+4)v=1& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 4k(3u+v)+4(2u+v)=1\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 4k'=1\end{align*}\)   
avec \(k'=k(3u+v)+2u+v \in \mathbb{Z}\) .
C'est absurde, car \(4\) ne divise pas \(1\) . Ainsi, \(n\) n'est pas un multiple de \(4\) .
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\((\Leftarrow)\) Supposons que \(n\) n'est pas un multiple de \(4\) .
Soit \(d\) un diviseur commun positif de \(3n+8\) et \(n+4\) .
Alors \(d\) divise \(3n+8-3(n+4)=8=-12=-4\) , donc \(d\) divise \(-4\) et ainsi, \(d \in \left\lbrace 1;4 \right\rbrace\) .
Si \(d\) valait \(4\) , alors comme \(d\) divise \(n+4\) , on pourrait écrire \(n+4=dk=4k\)  avec  \(k \in \mathbb{Z}\) , puis \(n=4(k-1)\) .
C'est absurde, car \(n\) n'est pas un multiple de \(4\) . Ainsi, \(d \neq 4\) et finalement, \(d=1\) .
On en déduit que \(\mathscr{D}(3n+8;n+4)=\left\lbrace -1;1 \right\rbrace\)  et donc que \(\mathrm{PGCD}(3n+8;n+4)=1\) .